n个数的平方和公式推导

Q1：求连续奇数平方和公式的推导和连续偶数平方和公式的推导！！

证明过程如下:
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^2+2^2+...+(2n)^2=2n(2n+1)(4n+1)/6=n(2n+1)(4n+1)/3
连续偶数平方和：2^2+4^2+...+(2n)^2=4(1^2+2^2+...+n^2)=4n(n+1)(2n+1)/6=2n(n+1)(2n+1)/3
连续奇数平方和：1^2+3^2+...(2n-1)^2=[1^2+2^2+...+(2n)^2]-[2^2+4^2+...+(2n)^2]
=n(2n+1)(4n+1)/3-2n(n+1)(2n+1)/3=n(2n+1)(2n-1)/3=(1/3)n(4n^2-1)
=n(2n+1）（2n-1)/3、

Q2：自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导

平方和的推导利用立方公式：

(n+1)??-n??=3n??+3n+1 ①

记Sn=1??+2??+....+n??， Tn=1+2+..+n=n(n+1)/2

对①式从1~n求和，得：

∑(n+1)??-n??=3∑n??+3∑n+∑1

(n+1)??-1=3Sn+3Tn+n

这就得到了Sn=n(n+1)(2n+1)/6

类似地，求立方和利用4次方公式：

(n+1)^4-n^4=4n??+6n??+4n+1

例如：

2^3= (1+1)^3 =1^3+3*1^2+3*1+1

3^3= (2+1)^3 =2^3+3*2^2+3*2+1

4^3= (3+1)^3 =3^3+3*3^2+3*3+1

. . . . . .

(n+1)^3=(n+1)^3=n^3+3*n^2+3n+1

去掉中间步，将右边第一项移到左边得：

2^3 - 1^3=3*1^2+3*1+1

3^3 - 2^3=3*2^2+3*2+1

4^3 - 3^3=3*3^2+3*3+1

. . . . . .

(n+1)^3-n^3=+3*n^2+3n+1

两边分别相加

(n+1)^3-1^3=3（1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2)+3(1+2+3+4+...+n)+n

1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=[(n+1)^3-1^3-3(1+2+3+4+...+n)-n]/3

整理即得

1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=n*(n+1)(2n+1)/6

扩展资料：

常见数列求和的方法：

1、公式法：

等差数列求和公式:

Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2

等比数列求和公式：

Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)

2、错位相减法

适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn

例如：an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn

qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)

Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)

Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)

3、裂项法

适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的许多项。

Q3：正整数1到N的平方和，立方和公式是怎么推导的？其中奇数项偶数项的和又是如何推导的？

平方和n(n+1)(2n+1)/6、推导：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
a^2+b^2=a(a+b)+b(a-b)
奇数项：(2n-1)^2=4n^2-4n+1、S奇数=4(1^2+……+n^2)-4(1+……+n)+n
=4*n(n+1)(2n+1)/6-4*(1+n)n/2+n
=(2n+1)(2n-1)n/3、偶数项：(2n)^2=4n^2、S偶数=4(1^2+……+n^2)=2n(n+1)(2n+1)/3、立方和[n(n+1)/2]^2、推导：(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
所以有
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1、各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2、奇数项：(2n-1)^3=8n^3-12n^2+6n-1、S奇数=8(1^3+……+n^3)-12(1^2+……+n^2)+6(1+……+n)-n
=8*[n(n+1)/2]^2-12*n(n+1)(2n+1)/6+6*n(n+1)/2-n
=n(2n^3+3n+4)
偶数项：(2n)^3=8n^3、S偶数=8(1^3+……+n^3)
=2[n(n+1)]^2

Q4：求自然数平方和公式及其推导过程

求证的方法有很多，我以前是通过组合数的规律来思考的
我们可以通过组合数的一共公式来考虑：（n,k）+(n,k+1)=(n+1,k+1),这里用到的是k=2的情况，即（n,2）+(n,3)=(n+1,3)算一下就知道这公式是否正确了。
下面可以计算了。n^2=2(n+1,2)-n,所以1^2+2^2+3^2+…+n^2求和可以分为两部分，
简单的"n"求和就是1+2+……+n=(n+1)n/2、"2(n+1,2)"求和的话，我们先思考“（n+1，2）”的求和，即为（2，2）+（3，2）+（4，2）+……+（n+1,2）,这时利用公式（n,2）+(n,3)=(n+1,3)，令n=3,有（3,2）+(3,3)=(4,3),因为（2,2）=(3,3),所以，（2，2）+（3，2）=（3，3）+（3，2）=（4，3），继续加，（4，3）+（4，2）=（5，3），（5，3）+（5，2）=（6，3）……可以一直加下去，最后得到（n+2,3）,所以“（n+1，2）”的求和答案就是（n+2,3）=(n+2)(n+1)n/6,乘以前面的2，就是(n+2)(n+1)n/3，再减去(n+1)n/2，就等于（2n+1）（n+1）n/6