方程根与系数的关系

Q1：利用根与系数的关系求方程中待定字母的值

一、知识要点对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 总有 x1+x2=- ，x1·x2= ，其中x1、x2是方程的两根。
它的逆定理也是成立的，即如果两个数x1和x2，满足x1+x2=- ，x1·x2= ，那么x1, x2是方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两个根.这是根与系数的关系定理，又称韦达定理.
二、例题分析
1、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值
例1、已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值
分析：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值.
解法一：把x=2代入原方程，得
22-6×2+m2-2m+5=0
即 m2-2m-3=0
解得m1=3m2=-1
当m1=3m2=-1时，原方程都化为
x2-6x+8=0
∴x1=2x2=4
∴方程的另一个根为4，m的值为3或-1.
解法二：设方程的另一个根为x.
则
∴ 或
2、判别一元二次方程两根的符号.
例1、不解方程，判别2x2+3x-7=0两根的符号
分析：因为二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可求根的判别式△，但△只能用于判定根存在与否，若判定根的正负，则需要考察x1·x2 或 x1+ x2的正负情况.
解：∵△=32-4×2×(-7)=650
∴方程有两个不相等的实数根设方程的两个根为x1, x2，
∵x1·x2= =- 0
∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要“根的判别式”，“根与系数的关系”结合起来进行确定.另外本题中x1·x2＜0，可判定根为一正一负，
若x1·x20，仍需考虑x1+ x2的正负，从而判别是两个正根还是两个负根.
例2、当m为什么实数时，关于x的二次方程mx2-2(m+1)x+m-1=0的两个根都是正数。
分析：正、负根的问题应这样想：如正数根，应确保两根之和大于零，两根之积大于零，根的判别式大于等于零。
解：设方程的二根为x1, x2，且x10, x20，
则有
由 △=[-2(m+1)]2-4m(m-1)≥0解得：m≥-
∵m≠0,∴m0或m0，
∴上面不等式组化为：
⑴ 或⑵
由⑴得 m1、⑵不等式组的解集为空集.∴m1、∴当m1时，方程的两个根都是正数。
说明：当二次项系数含有字母时，不要忘记a≠0的条件。
例3、k为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0
（1）两根互为相反数
（2）两根互为倒数
（3）有一根为零，另一根不为零。
分析：两根“互为相反数”、“互为倒数”，“有一根为零，另一根不为零”等是对两根的性质要求，在满足这个要求的条件下，求待定字母的取值.方程的根互为相反数，则x1=-x2,即x1+x2=0;互为倒数，则x1= ，即x1·x2=1，但要注意考察判别式△≥0.
解：设方程的两根为x1, x2，
则x1+x2=- =-
x1x2=
（1）要使方程两根互为相反数，必须两根的和是零，
即x1+x2=- =0，∴k=0，
当k=0时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=160
∴当k=0时，方程两根互为相反数。
（2）要使方程两根互为倒数，必须两根的积是1，即
x1x2= =1，解得k=4
当k=4时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)=-1440
∴k为任何实数，方程都没有互为倒数的两个实数根。
（3）要使方程只有一个根为零，必须二根的积为零，且二根的和不是零，
即x1x2= =0，解得k=
又当k= 时，x1+x2=- ≠0，
当k= 时，△=(4k)2-4×2(k+1)(3k-2)= 0，
∴k= 时，原方程有一根是零，另一根不是零。
说明：研究两个实数根问题时，应注意二次项系数不得为零，△=b2-4ac不得小于零。
3、根的关系，确定方程系中字母的取值范围或取值.
例1、关于x的一元二次方程x2-3x+k+1=0的两根的平方和小于5，求k的取值范围。
解：设方程两根分别为x1, x2，
x1+x2=3, x1·x2=k+1
∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=32-2(k+1)5
∴k1①
又∵△=(-3)2-4(k+1)≥0
∴k≤②
由①②得：1k≤
说明：例1是应用根的判别式，已知条件，构造不等式，用不等式组的思想，确定字母的取值范围.
例2、知：方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根，且这两个根的平方和比两根的积大21，求m的值。
分析：本题是利用转化的思想将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于m的方程,就可求得m的值.
解：∵方程有两个实数根，
∴△=[2(m-2)]2-4×1×(m2+4)≥0
解这个不等式，得m≤0
设方程两根为x1, x2，
∴x1+x2=-2(m-2)x1·x2=m2+4
∵x12+x22-x1x2=21
∴(x1+x2)2-3x1x2=21
∴[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21
整理得：m2-16m-17=0
解得：m1=17m2=-1
又∵m≤0∴m=-1
说明：1、求出m1=17, m2=-1后，还要注意隐含条件m≤0，舍去不合题意的m=17。
三、小结 ：一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛,在中学数学中占有极重要的地位，是中考的重点，学习时要引起足够重视.

Q2：二元一次方程根与系数的关系

对于一元二次方程,当判别式△＝时,其求根公式为：；若两根为,当△≥0时,则两根的关系为：；,根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的,即当,时,那么则是的两根.一元二次方程的根与系数的关系,综合性强,应用极为广泛,在中学数学中占有极重要的地位,也是数学学习中的重点.学习中,老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外,还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况,以及应用求根公式求出方程的两个根,进而分解因式,即

Q3：一元二次方程根与系数的关系

α,β是方程X²+2X-7=0的两个实数根，则：
α+β=-2α*β=-7 α²+3β²+4β=α²+β²+2β²+4β
=（α+β）²-2α*β+2β²+4β
=18+2β²+4β而α,β是方程X²+2X-7=0的两个实数根 则β²+2β-7=0
即β²+2β=7、2β²+4β=14、所以α²+3β²+4β=18+14=32

Q4：一元N次方程根与系数的关系有人知道吗

比较方程的标准形式和因式分解形式，显然x的同次幂的系数必须相等，就可以得出根与系数的关系：（记-1的n次幂为(-1)^n，其余同理）
x^n+a1x^(n-1)+…+(an-1)x+(an)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)
x1+x2+…+xn=-a1、x1x2+x2x3+x2x4+…(xn-1)xn=a2、………………
x1x2…xn=[(-1)^n]an
其中a1、a2、…、an为方程的系数（默认x最高次项系数为1，若不为1可把每个系数除以最高项系数）；x1、x2、…、xn为方程的根（其中包括复根和重根。代数基本定理：N次方程有N个根）。
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Q5：二元一次方程中，根与系数的关系是什么？

二元一次方程中，根与系数没有关系。

只有一元二次方程中根与系数的关系：

ax??+bx+c=(a≠0)。

当判别式=b??-4ac>=0 时。

设两根为x??,x??。

则跟与系数的关系(韦达定理)：

x??+x??=-b/a

x??x??=c/a

扩展资料：

二元一次方程解法：

1、消元思想

“消元”是解二元一次方程组的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元多次方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的解法，叫做消元解法。

消元方法一般分为：代入消元法，简称：代入法 ；加减消元法，简称：加减法 ；顺序消元法 ；整体代入法。

2、代入消元法

将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法。

用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：

（1）等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y），用另一个未知数（如x）的代数式表示出来，即将方程写成y=ax+b的形式。

（2）代入消元：将y=ax+b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于一元一次方程。

（3）解这个一元一次方程，求出x的值。

（4）回代：把求得的x的值代入y=ax+b中求出y的值，从而得出方程组的解。